<<< предыдущая глава к содержанию следующая глава >>>

5. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 .«РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И .ПОИСК ЭКСТРЕМУМОВ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»

Содержание
  1. Решение нелинейных уравнений
       Подбор параметра
       Циклические ссылки
       Поиск решения
       Варианты задания
  2. Поиск экстремумов функции одной переменной
       Поиск решения
       Варианты задания

Программа MS Excel имеет встроенные средства, с помощью которых можно без программирования решать нелинейные уравнения и осуществлять поиск максимального и минимального значений функции одной переменной в заданных границах.

Цель и содержание работы: овладеть практическими навыками решения нелинейных уравнений и поиска экстремумов функции одной переменной средствами программы MS Excel.

5.1.Решение нелинейных уравнений

В общем случае решение нелинейного уравнения проводится численно в два этапа (здесь речь идёт лишь о вещественных корнях уравнения). На первом этапе производится поиск интервалов, в которых содержится только по одному корню. Второй этап решения связан с уточнением корня в выбранном интервале (определением значения корня с заданной точностью). Известно, что корень уравнения (уравнение записано в виде f(x)=0) – это такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю. В графическом представлении – это может быть точка пересечения или касания графика функции с осью абсцисс.

При решении уравнения не надейтесь никогда найти точное значение корня и добиться обращения функции в нуль при использовании компьютера, где сами числа представлены ограниченным числом знаков. Здесь критерием может служить приемлемая абсолютная или относительная погрешность корня. Если, например, относительная погрешность равна 0,000001 (e=0,000001), то искомый результат буде иметь 6 верных (значащих) цифр после запятой (n=lg(1/e)).

В настоящей лабораторной работе решение уравнений сводится к выполнению второго этапа, то есть к уточнению корня на заданном отрезке.

Решение нелинейных уравнений в таблицах MS Excel возможно осуществить следующими способами:

  1. Подбором параметра;
  2. используя циклические ссылки;
  3. с помощью Поиска решения.

Подбор параметра

При подборе параметра Excel использует итерационный (циклический) процесс. Количество итераций и точность (относительная погрешность) устанавливаются следующей последовательностью команд:

  1. щёлкнуть мышью по кнопке меню Сервис;
  2. в раскрывшемся меню щёлкнуть по строке Параметры…;
  3. в появившемся диалоговом окне Параметры щёлкнуть мышью по вкладке Вычисления, где и установить значения Предельного числа итераций и Относительной погрешности;
  4. щёлкнуть по кнопке ОK.

При подборе параметра Excel изменяет значение аргумента функции в одной конкретной ячейке до тех пор, пока значения функции, вычисляемые по формуле, ссылающейся на эту ячейку, не станут соответствовать установленным параметрам вычислений.

Уточнение корня уравнения этим способом сводится к следующим действиям.

  1. Заданное уравнение преобразовать к виду f(x)=0. Левая часть уравнения и будет той функцией, нуль которой необходимо найти. Например, задано уравнение tg(x)=1/x. Приводим его к виду x×tg(x)=1, переносим единицу в левую часть уравнения и получаем x×tg(x)-1=0. Тогда функция, нуль которой предстоит найти, имеет вид f(x)=x×tg(x)-1.
  2. В выбранную ячейку рабочего листа (например, B5) ввести текст x=.
  3. В соседнюю справа ячейку (например, в ячейку C5) ввести любое начальное приближение к корню из заданного отрезка (можно использовать значение левой или правой границы).
  4. В ячейку строкой ниже (например, B6) ввести текст f(x)=.
  5. В соседнюю ячейку (справа от предыдущей) ввести выражение для вычисления значений функции, в качестве которой использовать левую часть уравнения (в нашем случае в ячейку C6 ввести формулу =C5*TAN(C5)-1). Ссылка в формуле вводится щелчком мыши по ячейке с начальным значением аргумента, то есть по ячейке C5.
  6. Щёлкнуть мышью по ячейке с формулой для вычисления значений функции (C6).
  7. Щёлкнуть мышью по строке меню Сервис.
  8. В раскрывшемся меню щёлкнуть по строке Подбор параметра….
  9. В появившемся диалоговом окне Подбор параметра удалить адрес текущей ячейки в окне Установить в ячейке:, если он не соответствует адресу ячейки с выражением для вычисления значений функции, и щёлкнуть мышью по ячейке с формулой (C6), в окно Значение: ввести 0 (нуль). Щелкнуть мышью в окне Изменяя значение ячейки:, а затем щёлкнуть мышью по ячейке со значением x (C5).
  10. Щёлкнуть мышкой по кнопке ОK. Результат получен.

Пример оформления на рабочем листе

  B С
4    
5 x= 0,5
6 f(x)= =C5*TAN(C5)-1


Циклические ссылки

Если в ячейку рабочего листа введена формула, содержащая ссылку на эту же ячейку (может быть и не напрямую, а опосредованно – через цепочку других ссылок), то говорят, что имеет место циклическая ссылка (цикл). Именно вычисление по формулам с циклическими ссылками и использовано в рассматриваемом способе решения нелинейных уравнений. При этом число повторений цикла будет конечным.

Для включения режима циклических вычислений надо выполнить следующие действия:

  1. щёлкнуть мышью по кнопке меню Сервис;
  2. в раскрывшемся меню щёлкнуть мышью по строке Параметры…;
  3. в диалоговом окне Параметры щёлкнуть мышью по вкладке Вычисления;
  4. поставить флажок в окне итерации;
  5. установить вариант вычислений автоматически;
  6. щелкнуть мышью по кнопке ОK.

Уточнение корня уравнения этим способом сводится к следующим действиям.

  1. Найти первую производную от функции f(x) из уравнения f(x)=0. В нашем примере производная от функции f(x)=x×tg(x)-1 будет иметь вид f /(x)=tg(x)+x/cos2(x).
  2. В ячейку (например, F5) ввести текст Xнач=.
  3. В ячейку ниже (F6) ввести текст x=.
  4. В следующую ниже ячейку (F7) ввести текст f(x)=.
  5. В ячейку G5 ввести начальное приближение x (число) к искомому корню. В качестве такого приближения можно использовать середину (левую или правую границу) заданного отрезка.
  6. В ячейку G6 ввести рекуррентную формулу, задающую вычисление очередного приближения к корню по методу Ньютона При этом необходимо использовать логическую функцию ЕСЛИ(). Применение этой функции позволит запустить итерационный процесс с начального приближения, записанного в G5. Таким образом, формула, которую надо ввести в ячейку G6, будет иметь вид: =ЕСЛИ(G6=0;G5;G6-(G6*TAN(G6)-1)/ (TAN(G6)+G6/COS(G6)^2)).
  7. В ячейку G7 ввести выражение для вычисления значений функции из уравнения. Искомый результат (корень) будет получен в ячейке G6.

Для изменения начального приближения Xнач на другое необходимо выполнить следующие действия.

  1. Из ячейки со значением Xнач (G5) удалить прежнее значение и ввести новое.
  2. Дважды щёлкнуть мышью (перейти в режим редактирования содержимого) по ячейке с формулой (G6). После чего нажать клавишу Enter. Это приведёт к обнулению прежнего результата и повторному запуску итерационного процесса.

Пример оформления на рабочем листе

  F G
4    
5 Xнач= 0,5
6 x= =ЕСЛИ(G6=0;G5;G6-(G6*TAN(G6)–1)/ (TAN(G6)+G6/COS(G6)^2))
7 f(x)= =G6*TAN(G6)-1


Поиск решения

Задачи, которые можно решать с помощью Поиска решения, в общей постановке формулируются так:

Найти: x1, x2, …, xn такие , что F(x1, x2, …, xn) ®   (Max; Min; = Value)
    при ограничениях: G(x1, x2, …, xn) ®   (£   Value; ³   Value; =Value),
    где Value – это значение.

Искомые переменные x1, x2, …, xn – ячейки рабочего листа – называются регулируемыми ячейками.

Целевая функция F(x1, x2, …, xn) должна задаваться в виде формулы в ячейке рабочего листа. Эта формула может содержать функции, определённые пользователем, и должна зависеть (ссылаться) от регулируемых ячеек. В момент постановки задачи определяется, что делать с целевой функцией. Возможен выбор одной из следующих задач:

  1. найти максимум целевой функции;
  2. найти минимум целевой функции;
  3. добиться того чтобы целевая функция принимала фиксированное значение: F(x1, x2, …, xn)=a.

Функции G(x1, x2, …, xn) называются ограничениями. Их можно задать как в виде равенств, так и неравенств. На регулируемые ячейки можно наложить и другие дополнительные ограничения.

Выше корень нелинейного уравнения уточнялся с помощью средства Подбор параметра и за счет разрешения при вычислениях в таблицах циклических ссылок (метод Ньютона с использованием циклических ссылок). Рассмотрим, как можно воспользоваться средством Поиск решения (Решателем) для той же цели.

Для уточнения корня с помощью Поиска решения необходимо выполнить следующие действия:

  1. в ячейку (например, I5) ввести текст x=;
  2. в ячейку справа от I5 (K5) ввести значение начальной границы (число) заданного отрезка;
  3. в соседнюю ячейку снизу (I6) ввести текст f(x)=;
  4. в расположенную справа от I6 ячейку (K6) ввести формулу для вычисления значений функции, в качестве которой использовать левую часть преобразованного уравнения (в нашем случае формула имеет вид =K5*TAN(K5)-1);
  5. щёлкнуть мышью по ячейке с целевой функцией (K6);
  6. щёлкнуть мышью по кнопке меню Сервис;
  7. в раскрывшемся меню щёлкнуть мышью по строке Поиск решения (если этой строки в меню нет, то в этом же меню надо встать на строку Надстройки…, щёлкнуть мышью, установить флажок в окошечке Поиск решения диалогового окна Надстройки и щёлкнуть мышью по кнопке ОK, после чего повторить запуск Поиска решения);
  8. в появившемся диалоговом окне Поиск решения выполнить следующие установки:


Пример оформления на рабочем листе

  I K
4    
5 x= 0,5
6 f(x)= =K5*TAN(K5)-1

Варианты задания

Вариант задания соответствует порядковому номеру студента в списке группы. Заданное уравнение привести к нормальному виду, то есть все , расположенное в правой части уравнения, перенести в левую половину и приравнять ее нулю. В дальнейшем левая часть уравнения и будет являться целевой функцией. Упростить целевую функцию насколько это возможно и найти первую производную от целевой функции. Уравнение решить каждым из рассмотренных способов и сравнить полученные результаты. Допустимое их различие должно быть меньше e=10 –6.

Таблица 5.1

№п/п Уравнение a b №п/п Уравнение a b
1 Ln(x)=1/x 1 2 16 Ln(x)=Sin2(x) 0 p/2
2 Ln(x)=Sin(x) 1 3 17 Ln(x)=e-x 0 2
3 Sin(x)=1/x 0 p/2 18 Lg(x)=e-x 0 1
4 Sin(x)=x/2 p/2 p 19 Cos(x)=x3 0 p/2
5 Cos(x)=x 0 p/2 20 Cos(x)=x2 0 p/2
6 Cos(x)=Ln(x) 0 p/2 21 Lg(x)=10-x 0 10
7 Cos(x)=Tg(x) 0 p/2 22 Tg(x)=1/x 1,6 4,5
8 Cos(x)=1/x 4 6 23 Ln(1+x)/x=2/ p 0 2
9 Cos(x)=Ln(1+x) 0 p/2 24 2+Ln(x)=1/x 0 1
10 Sin(x)=x/3 p/2 p 25 2+Ln(x)=1/x2 0 1
11 e-x=x 0 1 26 Tg(x)=1/x2 0 p/2
12 Ln(x)=1/x2 1 2 27 Tg(x)=1/x 0 p/2
13 e-x=Sin(x) 0 p/2 28 x5+1=3x 0 1
14 ex=1/Sin(x) 0 p/2 29 x+2=x3 1 2
15 e-x=x2 0 1 30 x-0,5=x8 0 0,5

5.2.Поиск экстремумов функции одной переменной

Решение этой задачи сводится к поиску на заданном отрезке такого значения аргумента, которое доставляет максимальное и (или) минимальное значение целевой функции.

Поиск решения

Последовательность и содержание действий такие же, как и при уточнении корня нелинейного уравнения с помощью Поиска решения. Отличие состоит в выборе варианта решаемой задачи и в установке ограничений для изменяемой ячейки. Для поиска максимума переключатель варианта в диалоговом окне Поиск решения установить максимальному значению, а для минимума переключатель варианта установить минимальному значению. Далее задать ограничения для изменяемой ячейки. Порядок установки ограничений следующий:

  1. щёлкнуть мышью по кнопке Добавить в диалоговом окне Поиск решения;
  2. в появившемся окне Добавление ограничения щелчком мыши по ячейке установить абсолютный адрес изменяемой ячейки в окне Ссылка на ячейку:;
  3. в среднем окне выбрать вид ограничения (<=; >=; =);
  4. в окне Ограничение: ввести значение соответствующей границы (в решаемой задаче два ограничения);
  5. после установки ограничения щёлкнуть мышью по кнопке ОK;
  6. в окне Поиск решения щёлкнуть мышью по кнопке Выполнить.

    После завершения поиска решения в ячейке, содержащей формулу для вычисления значений целевой функции, будет отображаться найденный максимум или минимум, а в изменяемой ячейке будет значение аргумента, доставляющее этот экстремум.

    Для изменения (корректировки) ограничения надо выделить строку с ограничением и щёлкнуть мышкой по кнопке Изменить, а затем выполнить корректировку. Назначение остальных кнопок в диалоговом окне Поиск решения уяснить самостоятельно.

    Варианты задания

    Таблица 5.2

    №п/п Функция f(x) a b №п/п Функция f(x) a b
    1 Cos(x- p/4)/ 6 8 16 Sin(x- p/4)/ 1 3
    2 Sin(x- p/4)/ 7 9 17 Sin(x-3 p/4)/ 3 5
    3 Sin(x-3 p/4)/ 9 11 18 Cos(x-3 p/4)/ 1 3
    4 Cos(x-3 p/4)/ 7 9 19 (1-Cos(x 1 3
    5 Sin(x)+5Sin(3x) 2 3 20 Sin(x)+5Sin(3x) 0 1
    6 3Sin(x)-Sin(3x) 0 2 21 3Sin(x)-Sin(3x) 7 9
    7 Cos(x)-Cos(3x) 4 6 22 Cos(x)-Cos(3x) 0 2
    8 Ln2(x)-Cos(x+1) 4 5 23 Cos(Ln(1+x))ex 2 4
    9 Sin(Ln(1+x))ex 1 2 24 35Cos(4x)+20 1 2
    10 Ln( px)xe-x 1 3 25 Cos( px/2)/(1–x3) 5 7
    11 e(1-x)Ln(1+x2) 1 2 26 (1-1/x2)e-x 1 2
    12 3+4Cos(2x)-7 5 6 27 10Ln(1+x)Sin( px) 1 3
    13 Cos( px/2)/(1-x) 0 2 28 5Cos(3x)+3Cos(5x) 1,5 2,5
    14 Sin( px)/x(1+x) 0 1 29 Ln(1+x)x/(ex-1) 1 4
    15 10Ln(1+x)Sin( px) 1 3 30 Sin(Ln(1+x))ex 1 2

    Пример оформления на рабочем листе

      D E F G
    4        
    5 Xмакс= 0,5 Xмин= 0,5
    6 f(x)макс= =E5*TAN(E5)-1 f(x)мин= =G5*TAN(G5)-1

    <<< предыдущая глава к содержанию следующая глава >>>